目标公式：

$$\text{①}c=\lambda f\text{②}d\sin {\phi }_k=k\lambda \text{③}{d}_{\text{膜}}=\frac{\lambda }{4n}\text{④}\lambda =\frac{r_k^2}{kR}$$

适用范围/假设：

• ① 对一切周期波成立（声、水、光）；只要求波形以恒定速度 $c$ 平移。
• ② 夫琅禾费（远场）条件：屏远（$D\gg d$），出射光线近似平行；缝间距 $d$ 恒定。
• ③ 垂直入射；膜的折射率介于两侧介质之间（$n_{\text{空气}}<n_{\text{膜}}<n_{\text{玻璃}}$），故两束反射光都有 $\pi$ 跃变。
• ④ 小角/薄层近似 $d\ll R$（空气层厚度远小于透镜曲率半径）；单色光、垂直入射；反射光中观察暗环。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$v=\lambda \cdot f$	Wellengeschwindigkeit（波速）	✅ S. 3 („Wellengeschwindigkeit")
$f=1/T$	Frequenz–Periode	✅ S. 2 („$f=1/T$")
$\sin {\phi }_k=k\cdot \lambda /d$	Interferenzmaxima beim Mehrfachspalt	✅ S. 4 („Interferenzmaxima beim Mehrfachspalt")——即目标公式 ② 的移项形式
${\lambda }_n={\lambda }_0/n$	Wellenlänge im Medium（介质中的波长）	✅ S. 4 („Wellenlänge im Medium")
相长 $\mathrm{\Delta }s=k\lambda$ / 相消 $\mathrm{\Delta }s=(k+\frac{1}{2})\lambda$	干涉条件	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己写出（理由见 ② 第 3 步）
光密介质反射跃变 $\pi$，光疏不跃变	Phasensprung（相位跃变）	❌ 不在 Formelnheft——波动学定理，考场需自己叙述
$r^2=d(2R-d)$	射影定理/圆几何（Höhensatz）	❌ 数学，不在 Formelnheft
$c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Lichtgeschwindigkeit	✅ S. 1（常数表）

推导（Schritt für Schritt）

① $c=\lambda f$ ——由定义直接推

1. 关键观察： 过了一个周期 $T$，波形回到原样——只是整体平移了一个波长 $\lambda$（这正是 $T$ 与 $\lambda$ 的定义：时间周期与空间周期）。
2. 速度通式（匀速）：$c={\displaystyle \frac{\text{路程}}{\text{时间}}}={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}$。
3. 代入 $f={\displaystyle \frac{1}{T}}$（S. 2）：$$\boxed{{\displaystyle c=\lambda \cdot f}}$$
4. 验算（UKW 调频台 88,6 MHz）： $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8\text{m/s}}{88,6\cdot {10}^6\text{Hz}}}\approx \mathrm{3,386}\text{m}$。 （用 S. 1 精确值 $c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$：$\lambda \approx \mathrm{3,384}$ m——同样 $\approx 3,4$ m；讲义口径约取 3,3 m。）米级无线电波 vs. 下文 nm 级光波。

② 光栅/双缝极大 $d\sin {\phi }_k=k\lambda$

1. 几何设置： 相邻两缝间距 $d$；屏很远（$D\gg d$）→ 到同一屏点的两条光线近似平行，与法线夹角 $\phi$。
2. 程差的几何： 从上缝向下缝光线作垂线，得一个以 $d$ 为斜边的直角三角形；下缝光线多走的路程是 $\phi$ 的对边：$$\mathrm{\Delta }s=d\cdot \sin \phi$$
3. 同相条件（为什么是整数个 λ）： 平移一个波长，波与自身完全重合（相位 $2\pi$）。两束波在屏上相长（峰对峰、最亮），要求程差是波长的整数倍：$$\mathrm{\Delta }s=k\lambda ,k=0,1,2,\dots$$
4. 合并 2、3：$$\boxed{{\displaystyle d\sin {\phi }_k=k\lambda }}⟺\sin {\phi }_k=\frac{k\lambda }{d}$$右式正是 Formelnheft S. 4 „Interferenzmaxima beim Mehrfachspalt"——一字不差，考场可直接引用。
5. 小角延伸（讲义测波长实验）： $D\gg s$ 时 $\sin \phi \approx \tan \phi ={\displaystyle \frac{s}{D}}$ → $\lambda =d\cdot {\displaystyle \frac{s}{D}}$。 验算（讲义红光行）： $d={10}^{-5}$ m，$s=\mathrm{0,195}$ m，$D=3$ m → $\lambda ={10}^{-5}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,195}}{3}}=6,5\cdot {10}^{-7}$ m $=650$ nm ✓（红光）。

③ λ/4 增透膜 $d={\displaystyle \frac{\lambda }{4n}}$

1. 设置： 玻璃（$n_{\text{玻}}\approx 1,5$）上镀折射率居中的膜（MgF₂，$n\approx 1,38$）。光垂直入射，一部分在膜上表面反射、一部分在膜–玻璃界面反射。
2. 两个相位跃变相互抵消： 波动学定理——向光密介质反射跃变 $\pi$（"固定端"），向光疏不跃变。这里 $n_{\text{空气}}<n<n_{\text{玻}}$，两个界面都是向光密反射 → 两束都跃变 $\pi$ → 跃变对相位差没有净贡献，只剩光程差起作用。
3. 光程差： 下面那束在膜内下去再上来，几何路程多 $2d$。膜内波长缩短为 ${\lambda }_n=\lambda /n$（S. 4 „Wellenlänge im Medium"）——同样的几何路程装下更多个波长，等效光程为几何路程 × $n$：$$\mathrm{\Delta }{s}_{\text{opt}}=2nd$$
4. 相消条件（增透＝让反射光相消）： 程差为半整数个波长时峰对谷。取最薄解（$k=0$）：$$2nd=\frac{\lambda }{2}⟹\boxed{{\displaystyle d=\frac{\lambda }{4n}}}$$——"四分之一波长膜"（指膜内波长的四分之一：$d={\lambda }_n/4$）。
5. 验算（绿光设计）： $\lambda =550$ nm，$n=1,38$ → $d={\displaystyle \frac{550}{4\cdot 1,38}}\text{nm}\approx 99,6\text{nm}\approx 100$ nm ✓（讲义口径 ≈100 nm）。
6. 能量去向： 被"消掉"的反射光并未消失，而是进入透射——这正是镀膜目的。条件只对一个 $\lambda$ 严格成立 → 残余反光呈紫红色。

④ 牛顿环 $\lambda ={\displaystyle \frac{r_k^2}{kR}}$

1. 设置： 微凸透镜（曲率半径 $R$）放在平玻璃板上，中间是向外渐厚的空气层（厚度 $d(r)$）。单色光垂直照射，观察反射光。
2. 空气层厚度的几何（小角近似，点明）： 透镜下表面是半径 $R$ 的球面。半径 $r$ 处，由射影定理（圆中直角三角形：弦半长的平方＝两段直径之积）：$$r^2=d(2R-d)$$因 $d\ll R$（μm 级 vs. m 级），略去 $d^2$ 项：$$r^2\approx 2Rd⟹d\approx \frac{r^2}{2R}$$
3. 相位情况： 跃变只发生在下界面（空气 → 玻璃，向光密）；上界面（玻璃 → 空气）不跃变。一个 $\pi$ 跃变＝额外半个波长 → 条件反转：几何程差 $2d$ 为整数倍 $\lambda$ 时反而相消（暗环），中心 $d=0$ 是暗点。
4. 反射光暗环条件：$$2d=k\lambda ,k=0,1,2,\dots$$
5. 合并 2、4（第 $k$ 个暗环半径 $r_k$）：$$2\cdot \frac{r_k^2}{2R}=k\lambda ⟹\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{r_k^2}{kR}}}$$
6. 验算： 设 $R=10$ m，测得第 $k=4$ 个暗环 $r_4=5,1$ mm → $\lambda ={\displaystyle \frac{(5,1\cdot {10}^{-3}{)}^2}{4\cdot 10}}={\displaystyle \frac{2,60\cdot {10}^{-5}}{40}}=6,5\cdot {10}^{-7}$ m $=650$ nm ✓——与 ② 中光栅测得的红光波长一致（讲义强调：两种独立方法互相验证）。蓝光波长更短 → 同样 $k$ 的环半径更小 → 环更密 ✓。

变量表

符号	含义	SI 单位
$c$	波速（真空光速 $\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$，S. 1）	m/s
$\lambda$	（真空）波长	m
${\lambda }_n$	介质中的波长 $=\lambda /n$	m
$f$	频率	Hz＝1/s
$T$	周期 $=1/f$	s
$d$（②）	光栅常数＝相邻缝间距	m
${\phi }_k$	第 $k$ 级极大的衍射角	rad（°）
$k$	级数（Ordnung）$=0,1,2,\dots$	—（无量纲）
$\mathrm{\Delta }s$	程差／光程差	m
$s,D$	屏上极大间距、光栅–屏距离	m
$d$（③④）	膜厚／空气层厚度	m
$n$	折射率（膜 $\approx 1,38$，玻璃 $\approx 1,5$）	—（无量纲）
$R$	透镜曲率半径	m
$r_k$	第 $k$ 个暗环半径	m

关联

• ①②：主题 13 §13.3、主题 13 §13.5（光栅实验）
• ③④：主题 6 §6.5、主题 6 牛顿环、主题 13 §13.5a
• 缝越窄光斑越宽 ↔ 不确定性原理：主题 9
• 声波同样满足 ①：H16